Je me commence un cours de relativité générale, parce que j'en ai jamais fait. J'ai fait que de la relativité restreinte à l'école. Et c'est tellement le bordel en cosmologie en ce moment que si je leur donne pas un coup de main, ils vont jamais s'en sortir !!

Objectifs

piger cette foutue équation d'Einstein
comprendre les métriques
comprendre le machin bidule de Schwartzchild

Source

Cours de Relativité Générale, M2 Astro : le cours

Chapitre 2 - cadre géométrique

Quelques définitions ... (où je ne réalise pas encore que je vais tomber dans les abysses de la géométrie différentielle)

variété d'ordre n (manifold)

C'est un ensemble, qui, en chacun de ses points, est semblable à R^n ... pas trop loin. Donc en gros, c'est un espace continu, dérivable en tout point, mais on s'engage pas trop à moyenne, grande échelle.

On s'imagine bien qu'on va bouffer de la variété d'ordre 4.

En relativité restreinte, la variété utilisée est tout simplement R^4.

système de coordonnées, ou carte

Sur une partie ouverte U d'une variété d'ordre n E, c'est un étiquetage de U vers R^n (un homéomorphisme = bijection continue ayant une réciproque continue).

atlas

Ensemble de couples (Un, carte de Un) tels que la réunion de tous les Un couvre tout E.

variété différentiable

Variété gentille sur laquelle on va pouvoir faire du calcul différentiel.

courbe

Image d'une application différentiable de R dans E. Le paramètre de la courbe est la variable se promenant dans R qui, grâce à la fonction, appelée paramétrage de la courbe, génère la courbe.

Étant donné un système de coordonnées (x0, x1, x2, x3), le paramétrage de la courbe est un semble de 4 fonctions de R dans R qui permettent de trouver les 4 coordonnées des points de la courbe. L'ensemble de ces 4 fonctions est l'équation paramétrique de la courbe.

vecteur

Dans les variétés, on peine à définir des vecteurs comme allant d'un point A à un point B, parce qu'une partie du vecteur peut sortir de la variété. Et si on se met à ajouter des vecteurs, c'est encore pire : rien ne garanti qu'on reste à l'intérieur de la variété.

Du coup, on définit un vecteur comme étant la tangente à une courbe, en dérivant chaque fonction de l'équation paramétrique par rapport au paramètre.

on définit la tangente à la courbe en dérivant chaque fonction de l'équation paramétrique
il nous faut un champ scalaire de R^4 sur R
le vecteur tangent à la courbe en P, associé au paramétrage de la courbe, est l'opérateur qui à tout champ scalaire différentiable au voisinage de P, associe la tanje fois le produit scalaire du nabla du champ scalaire.

Normalement ça s'écrit avec un beau Σ, mais la notation d'Einstein n'écrit pas explicitement le sigma, parce qu'Einstein était une feignasse.

Après on réalise qu'en tout point P de E, on a une infinité de vecteur tangents possibles (en prenant toutes les courbes possibles passant par P), et que cet ensemble infini de vecteurs est un espace vectoriel.

Là où on chiale, par rapport à un espace euclidien, c'est que l'espace vectoriel des tangentes en un point P, n'est pas le même sur un autre point P'. Donc chaque point possède son espace de tangentes.

On peut donc définir un déplacement infinitésimal autour de P, mais pas de vecteur AB "macroscopique". 😭

Ce qui fait que quand on veut parler de l'ensemble de tous les vecteurs d'une variété E, c'est en fait l'ensemble de tous les vecteurs des espaces vectoriels associés à chaque point P de E.

Donc, ajouter un vecteur issue du point A, et un vecteur issu du point B, tous deux appartenant à E, ben on va oublier.

Bon, au moins, le vecteur déplacement infinitésimal de P, est indépendant du choix du paramétrage de la courbe reliant P et P'. C'est déjà ça. Mais n'espérez pas pouvoir créer un vecteur PP' si P et P' ne sont plus infiniment proches.

Bref, on va pas aller loins si on n'a que des vecteurs déplacement infiniment petits, et si les vecteurs ne sont plus les mêmes quand on va de P à Q.

Formes multilinéaires et tenseurs

Bon, la prochaine étape sera de définir les formes linéaires, bilinéaires et multilinéaires, puis les tenseurs dans notre variété, mais déjà, les formes linéaires, ça va être des trucs de ce genre là :

... où l'ensemble de départ est l'espace vectoriel tangent à E ... au point P uniquement. 🥺

Je crois qu'on a déjà assez versé de larmes pour ce soir ...

... au moins j'ai compris l'abysse que pouvait être la géométrie différentielle.

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Relat - chap. 2 - cadre géométrique